Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ – Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

– Khái niệm đường parabol: Một đường parabol là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).

– Phương trình Parabol có dạng: y=ax2+bx+c

– Gọi I là đỉnh của Parabol ta có xI=−b2a; yI=−Δ4a ( trong đó Δ=b2−4ac)

– Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) là:

f(x) = g(x).

– Gốc tọa độ có tọa độ là O(0; 0)

– Trục tung có phương trình: x = 0.

– Trục hoành có phương trình: y = 0

II. Các công thức:

Cho parabol (P): y=ax2+bx+c, ta có:

– Tọa độ đỉnh I của Parabol là I−b2a;−Δ4a (trong đó Δ=b2−4ac)

– Tọa độ giao điểm A của Parabol y=ax2+bx+c với trục tung x = 0:

Thay x = 0 vào phương trình Parabol có:y=c⇒ A (0; c)

– Tọa độ giao điểm B của Parabol y=ax2+bx+c với trục hoành y = 0:

Hoành độ của B là nghiệm của phương trình y=ax2+bx+c (1)

Nếu phương trình (1) vô nghiệm ⇒ không tồn tại điểm B

Nếu phương trình (1) có nghiệm kép ⇒ Parabol tiếp xúc với trục hoành tại B−b2a;0

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Parabol cắt trục hoành tại hai điểm B1−b+Δ2a;0 và B2−b−Δ2a;0

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho parabol có phương trình y=x2−3x+2. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Lời giải:

Gọi I là đỉnh của Parabol y=x2−3x+2. Ta có:

xI=−b2a=−(−3)2.1=32Δ=(−3)2−4.1.2=1yI=−Δ4a=−14.1=−14⇒I32;−14

Vậy đỉnh của parabol là I32;−14.

Bài 2: Cho Parabol có phương trình y=−2×2+4x−3. Tìm giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục tung.

Vì M cũng thuộc trung tung nên ta có M(0;yM)

Thay x = 0 vào y=−2×2+4x−3 ta có: y = -2.0 + 4.0 – 3 = -3

⇒ M (0; -3)

Gọi N là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Vì N cũng thuộc trục hoành nên ta có: N(xN;0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

−2×2+4x−3=0(1)

Δ=42−4.(−2).(−3)=−8<0

⇒Phương trình (1) vô nghiệm. ⇒ Parabol và trục hoành không có giao điểm.

Bài 3: Tìm giao điểm của các Parabol sau với trục hoành.

a) y=2×2+3x−5

b) y=x2−2x+1

Lời giải:

a) y=2×2+3x−5

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

y=2×2+3x−5 (1)

Δ=(−3)2−4.2.(−5)=49> 0

⇒Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

x1=−3+492.2=1;x2=−3−492.2=−52

⇒M11;0 và M2−52;0

Vậy Parabol giao với trục hoành tại hai điểm M11;0 và M2−52;0.

b) y=x2−2x+1

Gọi B là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

x2−2x+1=0(1)

Δ=(−2)2−4.1.1=0

⇒Phương trình (1) có nghiệm kép x=−(−2)2.1=1

⇒B(1; 0)

Vậy Parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(1; 0).

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho parabol có phương trình y=2×2−5x+6. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Bài 2: Cho parabol có phương trình y=x2−3x+4. Xác định tọa độ giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|

Cách vẽ đồ thị Parabol chi tiết

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất